La transformée de Fourier est un outil mathématique fondamental utilisé pour décomposer une fonction (souvent un signal) en ses composantes fréquentielles. Elle permet de passer d'une représentation du signal dans le domaine temporel (ou spatial) à une représentation dans le domaine fréquentiel.
Définition : La transformée de Fourier, souvent notée $\mathcal{F}$, transforme une fonction $f(t)$ en une fonction $F(\omega)$, où $\omega$ représente la fréquence. Mathématiquement :
$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$
où $j$ est l'unité imaginaire.
Transformée Inverse : Permet de revenir du domaine fréquentiel au domaine temporel :
$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$
Propriétés : La transformée de Fourier possède de nombreuses propriétés utiles, telles que la linéarité, le décalage temporel, le décalage fréquentiel, la convolution, etc. Ces propriétés simplifient souvent l'analyse et la manipulation des signaux.
Transformée de Fourier Discrète (TFD) : Une version discrétisée de la transformée de Fourier, utilisée pour analyser des signaux échantillonnés numériquement. C'est l'algorithme de base pour le traitement numérique du signal.
Applications : Utilisée dans de nombreux domaines, notamment :
Théorème de Parseval : Relie l'énergie d'un signal dans le domaine temporel à son énergie dans le domaine fréquentiel. Il stipule que l'énergie totale du signal est conservée lors de la transformation.
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